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freier  Fall

Merke: Beim freien Fall werden 3 Funktionen (Gleichungen) gesucht.
         - die Weg-Zeit-Funktion S(t)
         - die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion V(t)
         - die Beschleunigungs-Zeit-Funktion a(t)
Merke: Diese 3 Funktionen sind über die "Integralrechnung"  und der "Differentialrechnung" miteinander verknüpft.
          Hat man a(t),so erhält man die beiden anderen Funktionen,V(t) und S(t) durch zweimaliges integrieren.
          Hat man S(t),so erhält man die beiden anderen Funktionen,V(t) und a(t) durch zweimaliges differenzieren.

                                                                            Herleitung

1. a=g=9,81 m/s^2=konstant nun 2 mal integrieren
2. V(t)=a*t+Vo
3. S(t)=1/2*g*t^2+Vo*t+So

Vo
ist die Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t=0
So ist der schon am Anfang zurückgelegter Weg zum Zeitpunkt t=0

Merke: a=g,Vo und So sind "Vektoren" und können ein positives oder ein negatives Vorzeichen haben,je nach Aufgaben-
          stellung.
          Die Zeit t ist ein Skalar.
          
Ist die Beschleunigung a(t) als Funktion in Abhängigkeit von der Zeit t gegeben,so erhält man durch integrieren die  
          Funktionen V(t) und S(t).

                                                                     Vorgehensweise bei Aufgaben

1. Schritt: Eine Zeichnung machen
2.     "   : Ein x-y-Koordinatensystem anlegen (einzeichnen)
3.      "   : Die Vektoren,a=g,Vo und So in das Koordinatensystem einzeichnen, mit den richigen Vorzeichen (Richtung)

                                                                    1. Beispielaufgabe

Ein Stein fällt aus 20 m Höhe senkrecht auf den Boden.
gesucht: Die Fallzeit tf=? und die Aufprallgeschwindigkeit Va=?
gegeben: die Höhe So=20 m und die Erdbeschleunigung a=-g=-9,81 m/s^2

Hinweis: Das Minuszeichen a=-g gibt die Richtung der Erdbeschleunigung an.Die Pfeilspitze zeigt nach unten.So=20 m ist
            positiv.Die Pfeilspitze von So=20 m zeigt nach oben.  

Lösung:2. V(t)=g*t
           
3. h(t)=S(t)=1/2*g*t^2+So

aus 3. ergibt sich die Fallzeit tf. S(t)=0=1/2*g*tf^2+So ergibt tf=Wurzel(-S0*2/g) tf=Wurzel(-20 m*2/(-9,81 m/s^2)=2,019 m/s
         tf=2,019 m/s
Hinweis: Hier muss man So=20 m und g=-9,81 m/s^2 einsetzen,weil in der Herleitung der Formeln die Vorzeichen nicht berück-
            sichtigt wurden.
Einheitenkontrolle: tf=Wurzel(m/(m/s^2))=Wurzel(m/m*s^2)=Wurzel(s^2)=s (Sekunden)
Merke: Mit Einheiten rechnet man ,wie mit Zahlen.Die Einheitenkontrolle dient dazu,ob die Formel überhaupt stimmen kann.
          Hier muss als Einheit Sekunden herauskommen und das stimmt bei dieser Formel.Nach der Einheitenkontrolle ist die
          Formel somit richtig.
aus 2. ergibt sich die Aufprallgeschwindigkeit Va. Mit Va=g*tf=-9,81 m/s^2*2,019 m/s=-,19,80 m/s
         Va=-19,80 m/s.
Hinweis: Das negative Vorzeichen von Va gibt die Richtung der Geschwindigkeit an,weil ja Va ein "Geschwindigkeitsvektor"
             ist.Die Spitze von Va zeigt nach unten.
Wir nehmen den Betrag von Va. Va=19,80 m/s=71,28 km/h

                                                                     2. Aufgabe
Nun wird der selbe Stein von einer Plattform in 20 m Höhe, senkrecht nach oben geworfen und das mit einer Geschwindigkeit von
Vo=10 m/s
gesucht:Die Steigzeit ts=? Die maximale Höhe hmax=? Die Fallzeit tf=?  Die Flugzeit tflug=? Die Aufprallgeschwindigkeit Va=?
gegeben:So=20 m,Vo=10 m/s,g=-9,81 m/s^2
Lösung: Im Bild sind die Vektoren dargestellt,mit den Vorzeichen.
            1. a=g=konstant
             
2. V(t)=g*t+Vo
             
3.  h(t)=S(t)=1/2*g*t^2+Vo*t+So

aus 2. V(t)=g*t+Vo ergibt V(t)=0=g*ts+Vo ergibt t=-Vo/(-g)=-10 m/s/(-9,81 m/s^2)=1,019 s (Sekunden)
         Steigzeit ts=1,019 s
aus 3. ergibt sich die maximale Höhe Smax=hmax=1/2*g*ts^2+Vo*ts+So=
         1/2*(-9,81 m/s^2*(1,019 s)^2+10 m/s*1.019 s+20 m=
         hmax=25,096 m
Auch hier mussten die Vorzeichen von g=-9,81 m/s^2 ,Vo=10 m/s und So=20 m in die Formel übernommen werden.
aus 3. die Fallzeit berechnen S(t)=h(t)=0=1/2*g*tf^2+Vo*tf+So
           0=1/2*(-9,81 m/s^2)*tf^2+10 m/s*tf+20 m dies ist eine "quadratische Gleichung" und die Nullstellen sind
            tf1=-1,243 s und tf2=3,201 s
            Dies habe ich mit meinen Graphikrechner (GTR,Casio) ermittelt.In "Handarbeit" muss man das mit der p-q-Formel
            machen. Siehe Mathe-Formelbuch "quadratische Gleichung" und auch die "Lösbarkeitsregeln dazu.
gewählt wird tf=3,201 s weil diese Zeit positiv ist.Eine negative Fallzeit gibt es nicht.
gesamte Flugzeit tflug=ts+tf=1,019 s+3,201 s=4,22 s
aus 2. Va=V(t)=g*tf=-9,81 m/s^2*3,201 s=-31,40 m/s=113,04 km/h
HINWEIS: Der Stein fällt aus hmax=25,096 m (hier ist V(t)=0) senkrechte auf den Boden,mit der Fallzeit von tf=3,201 s.
               Auch hier gibt das Minuszeichen die Richtung der Geschwindigkeit Va an. (nach unten).
                Als Betrag nehmen wir Va=31,40 m/s=113,04 km/h.

Im Bild sieht man den Kurvenverlauf: Die Höhe h(t)=S(t) in Abhängigkeit von der Zeit t.   

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