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                                                               Steckbriefaufgaben

Merke : -
Für jede Unbekannte braucht man eine Gleichung,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar !!
             - Die Lösung von Steckbriefaufgaben führt immer zu einen "linearen Gleichungssystem" (LGS)
              -
Das LGS löst man mit einen Graphikrechner (GTR) oder in "Handarbeit" nach den Methoden,die im Mathe-Formelbuch
                buch stehen. Es gibt davon 4 Methoden.

Lösbarkeitsregeln des  LGS :

1.  Normalfall : Es gibt genau so viele Variablen,wie Gleichungen . Es gibt eine "eindeutige Lösung".
2. Fall              : Es gibt mehr Variablen,als Gleichungen. Es gibt "unendlich viele Lösungen". Mindestens eine Variable kann frei
                        gewählt werden.
3. Fall             : Mindestens eine Gleichung weisst einen Widerspruch auf.Es gibt "keine Lösung". Mindestens eine Gleichung ist
                        Unsinn.

                                                            Steckbriefaufgabe (Gerade)

allgemeine Form der Geraden y=f(x)=m *x+b oder andere Buchstaben y=f(x)= a1 *x+ao

gegeben :   2 Punkte P1(-2/3) ergibt x1=- 2 und y1=f1(x)=3 und P2(4/2) ergibt x2=4 und y2=f2(x)=2

führt zum LGS     1. 3=m * - 2 + 1*b     mit P1(-2/3)
                         2. 2=m  *  4 + 1*b     mit P2(4/2)

Dieses LGS schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht !!

1. -2 *m + 1*b=3
2.   4 *m + 1*b=2

Lösung mit den GTR ergibt m=-1/6 und b=2 2/3=2,666..

gesuchte Funktion ist somit y=f(x)=- 1/6 *x + 2,666..
Probe :
y1=- 1/6 *(-2) +2,666..=3 und y2=- 1/6 * 4 + 2,666=2

Sonderfall : Hier kann man auch die Steigung m über den Differenzenquotienten  (de)y/(de)x=(y2-y1)/(x2-x1) ermitteln.
                    m=(2 - 3)/(4 - (-2)=- 1/6
in einer der beiden Formeln eingesetzt 3= - 1/6 *(-2) + b ergibt b=3 - 2/6=2 2/3=2,666..

                                                            Steckbriefaufgabe (Parabel)

einfachste Form : y=f(x)=a * x^2 +C

gegeben : 2 Punkte P1(-2/3) und P2(4/2)

Hinweis :
Man kann durch 2 Punkte auch ganzrationale Funktionen höheren Grades ermitteln.Die unnötigen Unbekannten werden dann
              Null gesetzt.
Mit den 2 Punkten erhalten wir ein LGS mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen

1. 3=a * (-2)^2 + C
2. 2=a * 4^2 + C

Dies schreiben wir wieder in die Form,wie sie im Mathe-Formelbuch steht.

1.   4 *a + 1*C=3
2. 16 *a +1*C=2

Lösung mit den GTR ergibt a= - 1/12 und C=3 1/3=3,333..

gesuchte Funktion ist somit y=f(x)= - 1/12 *x^2 +3,333..

                                                                      
Steckbriefaufgabe (Parabel)

gegeben : 2 Punkte P1(-1/2) und P2(2/6)

gesucht : 2 Normalparabeln,die gleichzeitig durch diese Punkte gehen und sich dort schneiden.

Hinweis : Dies ist eine Standardaufgabe ,die oft verlangt wird !!

Form der Normalparabel y=f(x)= x^2 + a1 *x+ao oder mit anderen Buchstaben f(x)=x^2+p *x+q siehe Mathe-Formelbuch

Lösung : Mit den 2 Punkten haben wir automatisch 2 Gleichungen und mit den Unbekannten a1 und ao 2 Unbekannte

mit a2 = "Steckungsfaktor" ergeben sich in Kombination mit den 2 Punkten 2 Gleichungen.

allgemeine Form der Parabel y=f(x)=a2 *x^2 +a1*x+ao bei der Normalparabel ist a2=1

a2>0 Parabel nach oben offen
a2<0 Parabel nach unten offen

mit y1=f1(x)= x^2 + a1*x+ao

ergibt  1.   1 *(-1)^2 + a1 * (-1) +1* ao= 2 aus den Punkt P1(-1/2)
          2.   1 *2^2     +a1 * 2     +1 *ao=6  aus den Punkt P2(2/6)

Dieses LGS schreiben wir nun um,so wie es im Mathe-Formelbuch steht.

1.  -1 *a1 + 1*ao=1
2.    2 *a1 +1 *ao=2

Lösung mit den GTR ergibt a1=1/3 und ao=1 1/3=1,333..

Die erste Normalparabel ist somit y1=f1(x)= x^2 +1/3 *x +1 1/3

mit y2=f2(x)= -1 *x^2 +a1 * x +ao

ergibt 1. -1 * (-1)^2 +a1 *(-1) +1 *ao=2 aus den Punkt P1(-1/2)
         2. -1 *2^2      +a1 * 2   +1 *ao=6 aus den Punkt P2(2/6)
           
Dieses LGS schreiben wir um,wie es im Mathe-Formelbuch steht.

1.  -1 *a1 + 1*ao=3
2.    2 *a1 +1 *ao=10


Losung mit den GTR ergibt a1= 2 1/3 und ao=5 1/3

Die zweite Normalparabel ist somit y2=f2(x)=-1*x^2 +2 1/3 *x +5 1/3

Ergebnis . Die beiden gesuchten Normalparabeln die durch die beiden Punkte P1(-1/2) und P2(2/6) gehen sind
              - y1=f1(x)=x^2+1/3 *x +1 1/3
               - y2=f2(x)= - 1 *x^2 + 2 1/3 *x +5 1/3

                                                                                   
Steckbriefaufgabe (kubische Funktion)

Form der kubischen Funktion,"ganzrationale Funktion 3. Grades y=f(x)=a3 *x^3 +a2 *x^2 +a1 *x +ao

Diese Funktion liefert 4 Unbekannte a3,a2,a1 und ao. Je nach Aufgabenstellung,werden diese Unbekannten aber nicht immer
gebraucht.

gegeben : Hochpunkt Hp(-1/3) und einen Tiefpunkt Tp(1/-1)

Hinweis :
Mit der beiden Punkten Hp und Tp und der 1.ten Ableitung y´=f´(x) ergibt sich ein LGS mit 4 Unbekannten und
              4 Gleichungen.

gesucht : Eine Kubische Funktion der Form y=f(x)=a3 *x^3 +a2 *x^2+a1 *x +ao

Lösung : Mit den 2 Punkten Hp(-1/3) und Tp(1/-1) sind automatisch 2 Gleichungen gegeben. Weitere 2 Gleichungen liefert
            die 1.te Ableitung.
y=f(x)=a3 *x^3+a2*x^2+a1*x+ao abgeleitet ergibt y´=f´(x)=3 *a3 *x^2+2 *a2 *x +a1

Dies ergibt das LGS

1.  a3 *1^3     +a2 *1^2    +a1 *1     +1 *ao=-1 aus den Punkt Tp(1/-1)
2.  a3 *(-1)^3 +a2 *(-1)^2 +a2 * (-1) +1 *ao=3  aus den punkt Hp(-1/3)
3.  a3 * 3 *1^2 +a2 *2*1   +1 *a1      +0 *ao=0 aus den Punkt Hp x=1
4.  a3 *3*(-1)^2+a2 *2*(-1)+1*a1      +0 *ao=0 aus den punkt Tp x=- 1

Wir haben hier nun ein LGS mit 4 Unbekannten und 4 Gleichungen. Diese schreben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht
und lösen es mit den Graphikrechner (GTR).

1.      1 *a3+1* a2+1*a1+1*ao=- 1
2.  (-1)* a3+1 *a2 -1*a1+1*ao=3
3.      3 * a3+2*a2+1*a1 +0*ao=0
4.      3 *a3 - 2 *a2+1*a1+0*a0=0

Lösung mit den GTR ergibt a3=1 und a2=0 und a1=- 3 und ao=1

gesuchte Funktion ist somit y=f(x)=x^3 -3*x +1

                                                                                
Steckbriefaufgabe (Kubische Funktion)

gegeben :Der Graph verläuft durch den Ursprung des Koordinatensystems und durch den Punkt P(1/1)
               
Ein Extremwert liegt bei xex=2

gesucht : Eine Kubische Funktion.

Lösung :kubische Funktion y=f(x)=a3 *x^3+a2 *x^2+a1 *x +ao

mit x=0 und y=f(0)=0=a3 *0 +a2*0+a1*0+ao ergibt ao=0

Form der Funktion ist somit y=f(x)=a3 *x^3 +a2 *x^2 +a1 *x
abgeleitet                           y´=f´(x)= 3 *a3 *x^2 +2 *a2 *x +a1

Wegen x1,2=Wurzel(25) ergibt x1=5 und x2=- 5 ergibt sich für den Extrempunkt bei xex=2 auch ein weiterer Punkt xex2=-2
Dies ergibt sich,weil die 2.te Ableitung eine Parabel ist und diese im Normalfall 2 reelle Nullstellen hat.

Hieraus ergibt sich nun ein LGS mit 3 Unbekannten und 3 Gleichungen

1. a3 *1^3     +a2 *1^2+a1 *1 = - 1 aus den Punkt P(1/-1)
2. a3 *3 *2^2+a2 *2 *2+a1 * 1=0 aus der Ableitung f´(x) mit xex=2
3. a3 *3 *(-2)^2 +a2 *2 *(-2)+a1 *1=0 aus der Ableitung f´(x) mit xex= - 2

Dies LGS schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht

1. 1 *a3   +1 *a2+1 *a1=- 1
2. 12 *a3 +4 *a2+1 *a1=0
3. 12 *a3  -4 *a2 +1 *a1=0  

Lösung mit den GTR ergibt a3=0,0905 und a2=0 und a1=- 1,09

Gesuchte Funktion ist somit y=f(x)=0,0905 * x^3 - 1,09 *x

Hinweis : f(x)= - 1 * f(x)
ist eine Spiegelung an der x-Achse und ergibt hier y=f(x)=- 0,0905 *x^3 +1,09 *x
                  
läuft aber durch den Punkt P(1/1) und nicht durch den Punkt P(1/-1) !
                -
Die beiden Extremstellen xex=2 und xex2=- 2 liegen symetrisch zur y- Achse.
                - Der Graph hat 2 Extrempunkte,verläuft durch den Ursprung und durch den Punkt P(1/1)  

                                                                    
Steckbriefaufgabe (kubische Funktion)

gegeben : Wendepunkt bei Pw(1/-1,5) und die Tangentengleichung  yt=ft(x)=34 *x - 47 an der Stelle xo=2

gesucht : Eine ganzrationale Funktion 3. Grades

Lösung : yt=34 * xo -47=34 *2 - 47=21 Damit hat man schon 2 Punkte und auch automatisch 2 Gleichungen. Die anderen beiden
             Gleichungen erhält man durch die Ableitungen.

y=f(x)=a3 *x^3 +a2*x^2 +a1*x +ao
y´=f´(x)= 3 *a3 *x^2 +2 *a2*x +a1
y´´=f´´(x)=6 *x + 2 *a2

Dies ergibt das LGS

1.        a3 *1^3+a2*1^2 +a1*1 +1*ao =-1,5 aus den Wendepunkt Pw(1/-1,5)
2.       a3 *2^3 +a2 *2^2 +a1 *2+1*ao=21   aus der Tangentengleichung f(2)=34 *2 -47
3.  3 *a3 *2^2 +2 *a2 *2 +1 *a1+0 *ao=34   aus der Tangentengleichung mit m=34 und xo=2
4.   6 *a3 *1    +2*a2       +0*a1  +0*ao=0    aus der 2.ten Ableitung für den Wendepunkt xw=1

Diese LGS schreiben wir um,wie es im Mathe-Formelbuch steht.

1. 1 *a3 +1*a2 +1 *a1 +1*ao=- 1,5
2.  8 *a3 +4 *a2 +2*a1 +1*ao=21
3. 12 *a3+4*a2 +1*a1 +0 *ao=34
4.  6 *a3 +2 *a2 +0*a1 +0*ao=0

Lösung mit den GTR ergibt a3=5,75 und a2=- 17,25 und a1=34 und ao=-24

Gesuchte Funktion ist somit y=f(x)=5,75 *x^3 - 17,25 *x^2 +34 *x - 24

                                                                          Schlußwort

- Steckbriefaufgaben füren immer zu einen "linearen Gleichugssystem" (LGS)
-
Mit jeden gegebenen Punkt P(x/y) ,erhält man automatisch auch einen Gleichung
- Neben den gegebenen Punkten ergeben auch die Ableitungen f´(x),f´´(x) der gesuchten Funktion f(x) weitere Gleichungen.
- Je höher der Grad der gesuchten Funktion,um so höher ist auch der Aufwand

Bei einer ganzrationalen Funktion 4.Grades y=f(x)=a4 *x^4+a3*x^3+a2*x^2+a1*x+ao sind das bis zu 5 Unbekannte
und 5 Gleichungen.
Für solche Aufgaben braucht man Spezialwissen über den Verlauf der Graphen ., Symetrisch zur y-Achse ,Punktsymetrie usw.,damit
das LGS aufgestellt werden kann.

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