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                                                     Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung

MERKE : -
Für jede Unbekannte braucht man eine Formel,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar !!
              - Bei diesen Extremwertaufgaben liefert die gesuchte Größe die Hauptbedingung/Hauptgleichung
               -
Die Nebenbedingung ,liefert eine zusätzliche Nebengleichung.
               -
Die Nebengleichung wird nach einer Unbekannten umgestellt.
               - Die umgestellte Nebengleichung wird in die Hauptgleichung eingesetzt und man erhält so eine Gleichung,
                  Funktion, der Form y=f(x) mit nur einer unabhängigen Variablen.

                                                                        1. Beispiel

gegeben : Der Umfang eines Rechtecks ist U=10000 m.Wie müssen die beiden Seiten a und b gewählt werden,damit die Fläche
               ein Maximum wird ?

Lösung : Die gesuchte Größe ist hier die Fläche A.Diese Fläche soll maximal werden und dazu braucht man eine Funktion A(x) mit
             nur einer unabhängigen Variablen .
Hauptbedingung/Hauptgleichung
ist somit A=a *b (Fläche eines Rechtecks)
Nebenbedingung/Nebengleichung ist U=2 *a +2 *b (Umfang des Rechtecks) umgestellt b=(U-2 *a)/2

ergibt A=a * (U - 2 *a)/2=(a *U - 2 *a^2)/2=- a^2 + 1/2 *a *U dies ist eine Funktion der Form
y=f(x)= - 1 *x^2 +0,5 *U* x

also eine quadratische Funktion.Nun muss mit einer Kurvendiskussion herausgefunden werden,wo sich das Maximum befindet .

abgeleitet : A´(a)=- 2 * a +0,5 * U nochmal abgeleitet A´´(a)= - 2

Bedingung für ein Maximum ist f´(x)=0 und f´´(x)<0 Also liegt ein Maximum vor,weil A´´(a) < 0

Nullstellen für A´(a)= - 2 *a +0,5 * U ergibt 0=- 2 *a +0,5 * U ergibt a= 0,5 * U *1/2=0,25 * U

Wert eingesetzt U=10000 m ergibt a= 0,25 * 10000 m=2500 m

Berechnung von b mit U=2 * a +2 *b=2 *2500 m +2 *b ergibt b=5000 m/2=2500 m

Ergebnis a=b=2500 m Dies ist also ein Quadrat mit der Fläche A=2500 m *2500 m=6250000 m^2

Erkenntnis :
Das Quadrat hat den größten Flächeninhalt,bei geringsten Umfang,wenn es sich um eine eckige Fläche handelt.

                                                                     2. Beispiel

Gegeben : Eine Mauer I und ein Seil S.Mit den Seil soll eine rechteckige Fläche eingerahmt werde.Wie müssen die Seiten a und b
               gwählt werden,damit sich eine maximale Fläche A ergibt ?
               I>a hier ist I die Länge der Mauer und a ist die Seite,die parallel zur Mauer liegt.
Lösung : Hauptbedingung/Hauptgleichung  A=a *b (Fläche des Rechtecks)
             Nebenbedingung/Nebengleichung S=a +2 *b (S=länge des Seils) ergibt a=S - 2 *b

eingesetzt in Hauptgleichung A=a *b=(S-2 *b) * b=S *b - 2 * b^2 dies ist die gesuchte Funktion y=f(x)=A(b)

Nun muss wieder eine Kurvendiskussion durchgeführt werden,um das Maximum zu ermitteln.

A(b)=- 2 *b^2 + S * b abgeleitet ergibt A´(b)= - 4 *b + S nochmal abgeleitet A´´(b)= - 4 also liegt ein Maximum vor

Bedingung für ein Maximum f´(x)=0 und f´´(x) < 0

Nullstellen für A´(b)=0=- 4 * b + S ergibt b=S/4

eingesetzt in S=a +2 *b = S + 2 * S/4=a + S/2 ergibt a=S/2

Probe :eingesetzt in S=a + 2 * b=S/2 + 2 * S/4=S Gleichung wird erfüllt.Ergbnis ist somit korrekt.

                                                                     3. Beispiel

Gegeben : 2 Bretter mit der Breite b sollen zu einer Wasserrinne verbaut werden.Wo ist der größte Querschnitt dieser Rinne.

Lösung : Eine Rinne ergibt sich nur,wenn die beiden Bretter einen dreieckigen Querschnitt bilden.Wir teilen dieses Dreieck durch
             eine Senkrechte h in 2 rechtwinklige Dreiecke auf.Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist A=1/2 *a *b
Hauptbedingung/Hauptgleichung
ist somit A=1/2 * c * h hier sind c und h die beiden Katheten des rechtwinkligen Dreiecks.

Nebenbedingung/Nebengleichung
sind sin(a)=Gk/Hy und cos(a)=Ak/Hy siehe Mathe Formelbuch ,Winkelbeziehungen im
                                                                                                                      rechtwinkligen Dreieck.
Wir haben hier also b= Breite der Bretter und c und h die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. sin(a) hier ist a der Winkel zwischen
der Senkrechten h und der Brettbreite b.

sin(a)=Gk/Hy=c/b ergibt c=sin(a) * b und cos(a)=Ak/Hy=h/b ergibt h=cos(a) * b eingesetzt in

A=1/2 * c * h =1/2 *b * sin(a) * b *cos(a)=1/2 * b^2 * sin(a) * cos(a)

Aus den Mathe-Formelbuch "Produkte von trigonometrischen Termen"

sin(a) * cos(b)=1/2 *(sin(a -b) +sin(a+b))
mit Winkel a gleich Winkel b

sin(a) * cos(a)=1/2 *( 0 +sin(2 *a)
in Flächengleichung eingesetzt

A=1/2 * b^2 * 1/2 * sin(2 *a)=1/4 * sin(2 *a) Extremstellen bei der Funktion y=f(x)=sin(x) bei x=pi/2 +k *pi

mit K=0,1,2,3.. und K=0 ergibt sich x=pi/2= 2 *a und daraus 2 *a=pi/2 ergibt a=1/4 *pi eingesetzt

y=f(x)=sin(2 *a)=sin(2 * 1/4 *pi)=1

Also ist A=1/4 *b^2 * sin(2 *1/4 *pie)=1/4 *b^2 die Fläche für eines der beiden rechtwinkligen Dreiecke.

mit a=1/4 * pi = 45° ergibt sich der Winkel zwischen den beiden Brettern zu 2*45°=90°

Ergebnis :Wenn die beiden Bretter einen Winkel von 90° bilden,ist die Querschnittsfläche der Rinne am größten .
Hinweis :Bei dieser Aufgabe brauchte keine Ableitung gebildet werden,weil die Extrempunkte der Funktion y=f(x)=sin(x)
               
schon bekannt sind.  sin(90°)=1 oder in rad sin(pi/2)=1.
 
                                                                         4. Beispiel

Gegeben :Ein Kreis mit den Radius r=4 cm .Der Kreismittelpunkt liegt im Ursprung eines x-y-Koordinatensystems.Gesucht
              ist die maximale Fläche des Rechtecks,A=a *b was im Kreis liegt.Oberhalb der x-Achse.
HINWEIS :Dies ist eine Standardaufgabe am Gymnasium.Es gibt hier 2. Möglichkeiten für eine Lösung.Maximum der
                Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks liegt bei a=b und den Winkel Alpha a=45°. Die Fläche dieses recht-
                winkligen Dreiecks ist 1/4 der Fläche des gesamten Rechtecks.

1.Möglichkeit : Den Kreis,kann man in Polarkoordinaten darstellen und zwar ist r(phi)=konstant=4 cm Für den Winkel
                        phie nehmen wir den Buchstaben c.Wir zeichnen nun ein rechtwinkliges Dreieck in den Kreis,wobei r die
                        Hypotenuse (längste Seite des Dreiecks) ist und a und b die Katheten.Hier ist a der x-Wert und b der y-Wert
Lösung :Fläche des Dreiecks A=1/2 * a * b und aus den Winkelbeziehungen sin(c)=Gk/Hy=b/r und cos(c)=Ak/Hy=a/r

eingesetzt ergibt sich A=1/2 * r *cos(c) * r *sin(c)=1/2 * r^2 *cos(c) * sin(c) Diese Dreieckfläche ist nun genau 1/4 der
gesuchten Rechteckfläche .
Aus den Mathe-Formelbuch "Produkte von gionometrische Terme" sin(a) *cos(b)=1/2 *(sin(a -b) +sin(a+b))
mit a=b=c ergibt sich sin(c) * cos(c)=1/2 * sin(2 *c)

eingesetzt A=1/2 *r^2 *cos(c) * sin(c)=1/2 *r^2 *1/2 * sin(2 *c)=1/4 * r^2 *sin(2 *c)

Extremwerte bei der Funktion y=f(x)=sin(x) sind x=pie/2 + k * pi mit k=0,1,2,3.. und k=0 ergibt sich
x=pi/2=2 *c ergibt c=pi/4 =45°

Der Maximalwert der Fläche vom rechtwinkligen Dreiecks,liegt bei den Winkel phi=c=pi/2=45°
y=f(x)=sin(2 * c)=sin(2 * 45°)= 1
eingesetzt ergibt sich

A=1/4 * r^2=1/4 * (4 cm)^2= 4 cm^2 Da es sich hier um !/4 der Fläche vom Rechteck handelt,ist die Gesamtfläche des
Rechtecks Ar=A *4=1/4 *r^2 *4=r^2=(4 cm)^2=16 cm^2

Koordinaten des Rechtecks a=cos(c)*r=cos(45°) *4 cm =2,828 cm und b=sin(45°) * r=sin(45°)=2,828 cm

somit x1=- 2,828 cm und x2=2,828 cm und y=2,828 cm (x1=-2,828 cm ,weil das Rechteck symetrisch zur y-Achse liegt)

Rechteckfläche A=a *b= 2 *2,828 cm * 2,828 cm =16 cm^2

2. Möglichkeit :
Formel für die Rechteckfläche A=a *b die beiden voneinander abhängigen Variablen a und b können auch
                        durch eine Funktion y=f(x) und deren unabhängigen laufvariablen x ersetzt werden.

Lösung : Aus den Mathe-Formelbuch entnehmen wir die Kreisgleichung Mittelpunktsgleichung x^2+y^2=r^2
             
ergibt y=Wurzel (r^2-x^2)=(r^2 -x^2)^0,5
eingesetzt in A=a *b=y * x=f(x) * x hier ist f(x)=(r^2-x^2)^0,5 und x ist die unabhängige Laufvariable.

ergibt A=(-x^2+r^2)^0,5 * x Problem hier ist,dass f(x) und x nicht ausmultipliziert werden können.Die Ableitung muss
deshalb nach der Produktregel (u *v)´=u´ *v +u * v´ erfolgen.Siehe Mathe-Formelbuch "Differentationsregeln"

Der Rest ist hier nur noch eine einfache Kurvendiskussion .

A=(-x^2+r^2)^0,5 * x wird nun nach der Produktregel abgeleitet. u=(- x^2 +r^2)^0,5 ergibt u´=-1*x/(-x^2+r^2)^0,5+
v=x
ergibt v´=1 eingesetzt in die Formel

(u * v)´=u´*v+u *v´=- x/(-x^2 +r^2)^0,5 * x +(- x^2+r^2)^0,5 * 1= - x^2/(-x^2+r^2)^0,5 +(-x^2+r^2)^0,5

multipliziert mit (-x^2+r^2)^0,5 ergibt Á´(x)=- x^2 +r^2 - x^2=- 2 * x^2 +r^2  

nun muss man nur noch die Nullstellen ermitteln A´(x)=0=- 2*x^2+r^2 ergibt x1.2= +/-Wurzel(r^2/2)
x1=-2,828 x2=2,828

Nun wird der y-Wert des Rechtecks ermittelt y=(r^2 - x^2)^0,5=(4^2 cm^2 - 2,828^2 cm^2)^0,5=2,828 cm

Fläche des Rechtecks somit A=a *b =2.828 - (-2,828) * 2,828cm=16 cm^2

HINWEIS :
Die Formel A=a *b=y *x=f(x) * x funktioniert nicht immer.Voraussetzung ist ,dass die Funktion f(x) symetrisch
                 zur y-Achse liegt und das der Graph nach unten geöffnet geöffnet ist.Es muss gewährleistet sein,dass für die
                 Fläche des Rechtecks überhaupt ein Maximum existiert.

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