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Tangenten-Normalrngleichung

Merke :
Um diese beiden Gleichungen zu berechnen,benötigt man 2 Angaben.
             - Angabe der Funktion y=f(x)
              -
Angabe von xo.Dies ist die x-Stelle,wo die Funktion liegen soll.

Tangentengleichung : yt=ft(x)=f´(xo) * (x -xo)+f(xo)

Normalengleichung : yn=fn(x)= - 1/f´(xo) * (x - xo) +f(xo)

Erklärung : yt=ft(x) Dies ist die Bezeichung der Tangentengleichung.der Index t steht für Tangente.Der Buchstabe y und f steht
                              für die Funktion selber.Je nach Buch (alter des Buches),benutzt sieht man verschiedene Buchstaben.
                f´(xo) Dies ist die abgeleitete Funktion f´(x),wobei hier xo eingesetzt wird.
                f(xo) Dies ist der Funktionswert von f(x) an der Stelle xo
                xo Dies ist der x-Wert,wo die Tangenten - Normalenfunktion liegen soll.

                                                             Herleitung der Formeln

MERKE : Die Tangentengleichung und die Normalengleichung,sind Geraden der Form y=f(x)=m *x + b

mit m=f´(xo) ergibt sich Gleichung 1. yt=ft(x)=f´(xo) * x + b
nun muss b berechnet werden. Es gilt f(xo)=f´(xo) * xo + b ergibt b=f(xo) - f´(xo) * xo eingesetzt in 1.

yt=ft(x)=f´(xo) * x + f(xo) - f´(xo) * xo
nun wird f´(xo) ausgeklmmert

ergibt die fertige Formel yt=ft(x)= f´(xo) * (x - xo) + f(xo)

Nun der selbe Rechenweg mit der Normalengleichung. Geradengleichung y=f(x)=m * x +b
ergibt Gleichung 1. yn=fn(x)= - 1/f´(xo) * x + b
nun b berechnen mit f(xo)= - 1/f´(xo) * xo + b ergibt b=f(xo) + 1/f´(xo) * xo eingesetzt in 1.

yn=fn(x)= - 1/f´(xo) * x + 1/f´(xo) * xo + f(xo)
nun - 1/f´(xo) ausklammern

ergibt die fertige Formel yn=fn(x)= - 1/f´(xo) * (x - xo) + f(xo)

                                                               Aufgabenbeispiel


gegeben die Funktion y=f(x)= 2 *x^2
berechne die Tangentengleichung und die Normalengleichung an der Stelle xo=3

1. Schritt :Die Funktion f(x)=2 *x^2 ableiten , ergibt f´(x)=4 * x
2. Schritt :Funktionswert f´(xo)=4 * 3=12 berechnen
3. Schritt :Funktionswert f(xo)=2 * 3^2=18 berechnen
4. Schritt .Die Funktionswerte f´(xo)=12 und f(xo)=18
5. Schritt :
Die Werte in die fertigen Formeln einsetzen

Tangentengleichung yt=ft(x)=12 *(x - 3) +18=12 *x - 36 + 18=12 * x - 18
Probe :f(x)=2 * x^2=2 *3^2=18 mit der Tangentengleichung yt=ft(x)=12 *x +18=12 *3 -18=18
Ergebnis : Die Tangentengelichung yt=ft(x)=12 *x - 18 ist richtig.

Normalengleichung yn=fn(x)= - 1/12 * (x -3) +18=- 1/12 * x +1/12 * 3+18=- 1/12 *x +18,25
Probe :f(x)=2 *x^2=2 *3^2=18 mit der Normalengleichung yn=fn(x)= - 1/12 * 3 +18,25=18
Ergebnis : Die Normalengleichung yn=fn(x)= - 1/12 * x + 18 ist richtig

HINWEIS : Die Tangente und die Normale bilden einen 90° Winkel .Die Normale steht senkrexht auf der Tangente und
                 auch senkrecht auf der Funktion f(x).Im Beispiel hier,steht die Normale bei xo=3 senkrecht auf der Funktion
                 y=f(x)=2 *x^2

                                                    
ergänzende Information
Zeichne folgende Funktionen Tangentengleichung yf=ft(x)= mt * x mit mt=2
und die Normalengleichung yn=fn(x)=mn * x mit mn= - 1/mt = - 1/2=- 0,5

Beide Gleichungen gehen durch den Usprung des x-y-Koordinatensystems und bilden einen 90° Winkel
yt=ft(x)=2 *x
und yn=fn(x)= -0,25 *x

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