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                                                                             Statik/Bauteilbemessung

                                                                            Vorwort
Diese Seite richtet sich an Leute,die sich für Statik und Bauteilbemessung (Dimensionierung) interessieren.Ich kann hier nur
absolute Grundlagen aufführen,weil dies Thema sehr umfangreich ist und man sich damit monatelang beschäftigen kann.Interes-
sierte müssen sich dazu unbedingt Bücher in einen Buchhandel besorgen.
Oft werden in der Statik für Variablen und anderen Formelzeichen griechische Buchstaben benutzt,also müssen den Benutzer diese
Buchstaben bekannt sein.
Griechische Buchstaben kann ich hier nicht darstellen.Auch kann ich hier keine Zeichnungen aufführen,die in entsprechenden
Fachbüchern zur Erklärung der Formeln zu finden sind.
Der Aufwand wäre für mich viel zu hoch und den bekomme ich hier nicht bezahlt !

                                                                      Literaturangabe
In diesen Büchern findet man die Formeln und Ausführungen,die ich hier aufführe.Man muss  nicht unbedingt sich diese Bücher be-
sorgen.Andere Bücher ,die das selbe Thema behandeln und den selben Inhalt haben tun es auch.
1) Mauerwerksbau,Konstruktion,Berechnung,Ausführung, Werner-Verlag 2.Auflage,Essen 1987
2) Stahlbetonbau,Bemessung,Konstruktion,Ausführung ,B.G. Teubner Stuttgart ,3.Auflage,Stuttgart 1983
3) Baukonstruktion,Dierks,Hermann,Schneider,Tietge,Wormuth,Werner-Verlag,2.Auflage,Düsseldorf 1990
4) Baustatik,Teil 2 Festigkeitslehre,G.Lohmeyer,B.G. Teubner Stuttgart,5.Auflage1985
5) Roloff/Matek,Normung,Berechnung,Gestaltung , mit Tabellenbuch ,Vieweg -Verlag,Braunschweig/Wiesbaden 9.Auflage,1985
     Dies ist ein Standardbuch für den Maschinenbau
6) Dubbel,Taschenbuch für den Maschinenbau,Springer-Verlag,Berlin Heidelberg ,15. Auflage,1985
     Dieses Buch ist ein Nachschlagewerk für Maschinenbauingenieure.Ist aber auch interessant für Leute,die sich für Technik interes-
     sieren,wegen den vielen Daten,Materialkennwerte und den Diagramm für Transportsysteme.

                                                   mechanische Spannung /Spannungsarten
Merke :
Durch eine äußere Kraft auf ein Bauwerk oder ein einzelnes Bauteil,entstehen innere mechanische Spannnungen.
           Es gibt verschiedene Spannungsarten,die oft auch gleichzeitig auftreten.
Si z(zul)=zulässige Zugspannung (sprich :sigman z zulässig) ,hier ist SI der griechische Buchstabe "Sigma".
SIz = Zugspannung (sprich : sigma Zug),dies ist die berechnete Zugspannung
SId (zul) = zulässige Druckspannung (sprich : sigma Druck zulässig)
SI d = Druckspannung (sprich :sigma Druck ) dies ist die berechnete Druckspannung
SIt (zul) =zulässige Trosionsspannung (sprich : sigmam Tau zulässig ) Tau ist der griechische Buchstabe und die Torsionsspannung
               ist die Verdrehspannung,die bei einen Drehmoment (Welle) auftritt.
SIt =Torsionsspannung (sprich sigma : Tau) ,dies ist die berechnete Torsionsspannung
Achtung :Si t wird auch bei der Scherspannung benutzt.Beispiel beim Abscheren eines Bolzens zwischen 2 Platten oder als
               Abschersicherung !!

                                                       Einheite der mechanischen Spannung
Formel : Si = F/A
Die Einheit ist die wirkende Kraft F (Newton) pro Flächeneinheit in mm (Millimeter).
                            Es gibt auch die Einheit MPa (Megapascal).Pascal ist die Einheit in N/m^2 (Newton pro Quadratmeter) .Das
                            Mega bedeutet 1 Million und wird verwendet,weil es sonst zu große und damit unhandliche Zahlen geben würde.
                                                                    Beispiel
Zulässige Spannung im Stahlbau nach DIN 18 800 T 1 in N/mm^2 (Newton pro Quadratmillimeter)
Zug - und Biegezug,Druck- und Biegedruck,Vergleichsspannung für den Stahl St 37 SI z (zul) = 160 N/mm^2 (Lastfall H) und
SIz(zul) =180 N/mm^2 (Lastfall HZ) dies ist die Hauptlast plus Zusatzlast.
Umrechnung in MPa : 1 m^2=1000 mm * 1000 m =1000000 m^2 also SIz(zul)=160 N/mm^2=160 000000 Pa = 160 MPa
Also SIz(zul)=160 N/mm^2=160 MPa
                                                          Die Vergleichsspannung
Beispiel :Bei einer Welle treten Biegezugspannungen,Biegedruckspannungen und Trorsionsspannungen auf und das gleichzeitig.
            Diese Spannungen werden zu einer Vergleichsspannung zusammengerechnet.
Aus dem Buch Roloff/Matek Si v=( (Si b)^2 + 3 * (a * SI t)^2)^0,5 < Si b (zul)
SI b(zul) = ist die zulässige Biegezugspannung,die nicht überschritten werden darf ,für St 37 Stahl SIz (zul) = 160 N/mm^2
SI b = dies ist die berechnete Biegezugspannung an der Welle.
SI t = dies ist die berechnete Torsionsspannung an der Welle.
a = Anstrengungsverhältniss.dies ist abhängig von den verwendeten Stahl oder den Betriebsverhältnissen.
     Für Baustahl St 37,St42,St52 usw, setzt man a=0,7 wenn Belastung Verdehung ruhend oder schwellend und Biegung
     wechselnd auftritt.
     a=1 wenn Biegung und Verdrehung im gleichen Belastugsfall auftreten z. Bsp. beide wechselnd.

                                                        Mechanische Spannungen beim Bau
Beispiel Bodenpressung :Hier handelt es sich um eine Druckspannung.Die Belastung pro Quadratmeter Boden darf einen
                                   bestimmmten Wert nicht überschreiten,weil sonst der Baugrund nachgibt und dadurch natürlich
                                   Bauschäden entstehen.
Aus dem Buch Baustatik,Festigkeitslehre zulässige Bodenpressung.
fetter Ton : Werte in (SI d ) KN / m^2                    fest                          halb fest                              fest
Einbindetiefe  0,5 m (Meter)                                90                                 140                                 200
       "            1,0 m                                           110                               180                                 240
       "             1.5 m                                          130                                210                                270
       "             2,0 m                                          150                                230                                 300  
1000 N=1 KN , 1000000 N/m^2=1 MPa also ist 1000 KN/m^2 =1 MPa
Aus dem Physik-Formelbuch Fg=m *g 100 KN/m^2=100000 N /m^2
100000 N ergibt m=100000 N /9,81 m/s^2 =10193,68 Kg also rund 10 Tonnen
Ergebnis :SI d(zul)=90 KN/m^2 bis 300 KN/m^2 entsprechen rund 9 bis 30 Tonnen pro Quadratneter Untergrund zulässige Belastung !!
                Diese zulässigen Werte sind abhängig von der Bodenart und der Fundamendtiefe (Einbindetiefe).

                                                             Mörteldruckfestigkeit/Steinfestigkeit
Auch hier gilt die Formel SId (zul)= F/A (sprich :sigma Druck zulässig),aus dem Buch "Mauerwerksbau"
                                   Kalkteig         Kalkhydrat                         hochhydraulischer Kalk          Zement                   Sandteile
Mörtelgruppe II                 1,5                                                                                                  1                              8
          "        II                                        2                                                                              1                              8
          "        II                                                                                         1                                                             3
Mörtelgruppe  IIa                                       1                                                                              1                             6
        "           IIa                                                                                       2                              1                             8

Diese Mörtel entsprechen der Druckfestigkeit nach DIN 1053 Teil 1 nach 28 Tagen in MN/m^2 (Meganewton pro Quadratmeter)
                                                               Einzelwert                                                           Mittelwert
Mörtel II                                                       2 und mehr                                                           2,5 und mehr
  "      II a                                                    4  und mehr                                                          5 und mehr   

                                                                     Steinfestigkeit (Kalksandstein gelocht,Dichte=0,6 - 1,6 Kg/dm
Diesen Stein gibt es in der Festigkeit von SId =6 - 12 N/mm^2 (Newton pro Quadratmillimeter) =6 -12 MPa (Megapascal)
Merke :Diese Kennwerte dienen zur Berechnung von Mauerwerk.Es gibt Rezeptmauerwerk,in dem die Steinfestigkeit und die
           Mörtelfestigkeit aufeinander abgestimmt sind.Der Interessierte muss sich hier selber das Buch "Mauerwerksbau"  
           oder ein passendes anderes Buch besorgen und sich durch die Formeln und Tabellen durcharbeiten.
                                                     Zusammenfassung Druckspannung (Flächenpresssung)
Merke :
Bis jetzt wurden keine statische Werte der Profile (Querschnitte) benötigt.Es ging bis jetzt nur um die maximale zulässige
            Flächenpressung (Druckspannung),Bodenpressung,Steinfestigkeit,Mörtelfestigkeit.Formel hier für ist SId=F/A also die
            Gewichtskraft ,Formel Fg=m *g (siehe Physik-Formelbuch ,Gewichtskraft) bezogen auf die Flächeneinheit m^2
            (Quadratmillimeter) oder m^2 (Quadratmeter)

                                                         Statische Werte der Profile (Kantholz,Stahlträger usw.)
Merke :
Statische Werte der Profile werden benötigt für die Biegebeanspruchung,Verdrehbeanspruchung und bei Stützen.Diese
           Werte sind.
           - der Flächenschwerpunkt eines Profils,wird berechnet mit den Flächenmoment 1.ter Ordnung
           - das Flächenmoment 2.ter Ordnung,für die Berechnung der Biegespannug.
           - das Wiederstandsmoment gegen die Biegung
           - das Wiederstandsmoment gegen Torsion (Verdrehung)
Diese Werte holt man sich aus Tabellen.Man kann diese Werte auch für Profile mit den entsprechenden Formeln berechenen,
wenn die Profile in den Tabellen nicht vorkommen.
Man sollte aber immer nur genormte Profile verwenden,weil die Gefahr für Rechenfehler relativ hoch ist.Außerdem ist dies viel
weniger Arbeit.
Bei der Ermittlung der Flächenmomente legt man zuerst ein x -y Koordinatensystem fest.Die einzelnen Werte beziehen sich
dann auf die Achsen des Koordinatensystems (x-Achse und y-Achse).
Diese Achsen nennt man in der Statik die Hauptachsen.
Formel Flächenmoment 1.ter Ordnung =(Summe) r * dA hier ist dA eine winzig kleine Teilfläche von der Gesamtfläche und
r ist derAbstand dieser Teilfläche von der x-Achse oder y - Achse.
Formel Flächenmoment 2.ter Ordnung =(Summe) r^2 * dA hier ist wiederum dA eine winzig kleine Teilfläche mit den Ab-
stand r von der X-Achse oder y-Achse.Hier wird aber r zum Quadrat genommen.Wegen den Exponenten 2 ist dies das Flächen-
moment 2.ter Ordnung.Die Einheit in den statischen Tabellen ist meist cm^4 (sprich Zentimeter hoch 4 ).
Die Widerstandsmomente ergeben sich aus den Flächenmomenten 2.ter Ordnung und haben die Einheit cm^3 (Zenti-
meter hoch 3).
Wenn der Interessierte wissen will,wieso das so ist,kann dies im Buch "Baustatik" 2 Festigkeitslehre nachgelesen werden.

                                                                         Beispiel reine Biegung
gegeben : ein Balken auf 2 Stützen (Lager) mit einer Kraft,die in der Mitte angreift.
               - Länge des Balkens l=3 m (Meter)
               - größe der Kraft F=6093 N (Newton) aus  Fg=m *g ergibt sich m=6093 N / 9,81 m/s^2 = 621,1 Kg
               - Balken ist ein Kantholz nach DIN 4070 (Deutsches Institut für Normung),14 cm *14cm Güteklasse II europäisches
                 Nadelholz.
               - SI b (zul)=10 N/mm^2 (Newton pro Quadratmillimeter) ,zulässige Biegezugspannung/Biegedruckspannung
Rechnung : Formel SIb z=Mb/Wb ,hier ist Mb das Biegemoment,errechnet sich aus der Balkenlänge und der Kraft
                 Wb ist das Wiederstandsmoment gegen Biegung aus der Tabelle Wb=457 cm^3 ,aus demBuch "Baustatik"
                 Umgerechnet in Wb=457000 m^3 (Millimeter hoch 3),ergibt sich weil 1 cm = 10 mm !!
                  Die Lagerkräfte ergeben sich zu Fa=Fb=F/2=6093 N/2=3046,5 N
                  Die maximale Belastung liegt genau in der Mitte des Balkens.
                  Das Biegemoment hier beträgt Mb=F/2 * l/2=3046,5 N *1.5 m=4569,75 Nm (sprich Newton mal Meter,kurz
                  Newton Meter).
                  Umgewandelt in Mb=4569,75 Nm * 1000=4569500 Nmm (Newton mal Millimeter)
eingesetzt in Formel SIb z=Mb/Wb =4569500 Nmm /457000 mm^3=9,99 N/mm^2
Spannungsnachweis SIb z=9,99 N/mm^2 < SIb z (zul)=10 N/mm^2
Auswertung :Die errechnete Biegezugspannung (SIb z) ist kleiner als die zulässige Biegezugspannung (SIb z (zul)
                  Das Kantholz kann mit einer mittigen Last von maximal m=621 Kg belastet werden !!
Hinweis :Dies ist das einfachste Rechenbeispiel für eine Biegung.Dieser Fall ist eine "reine Biegung",die Wirkungslinie liegt
              genau auf der senkrechten Hauptlinie des quadratischen Profils.
              - eine waagerechte Kraft tritt nicht auf
               -
dies ist nur ein Balken auf 2 Stützen,mit ein Lager als Loslager und ein Lager als Festlager.
              - würde eine waagerechte Kraft auftreten,so müsste das Festlager diese aufnehmen und die Spannung müsste zu
                der Biegespannung addiert werden
              - in diesen Fall müsste man dies Spannung mit der Biegespannung überlagern !!
              - die Formel SIb z=Mb/Wb gibt auch die Druckspannung an.Diese darf genau so hoch sein,wie die Zugspannung.
              - in der Mitte des Profils,verläuft die neutrale Faser,hier sind die Biegezu -und Biegedruckspannung null !!
              - die maximalen Biegespannungen liegen an den äußeren Kanten des Kantholzes,oben die Druckspannung und
                 unten die Zugspannung !
selbe Rechnung :Mit einen Stahlträger St 37 IPB 100 DIN 1025  (doppel T-Träger) Höhe=100 mm,Breite=50 mm
                           - zulässige Biegezu -und Biegedruckspannung SIb z (zul)=160 N/mm^2 nach DIN 18800 T 1 zulässige
                             Spannungen im Stahlbau (Roloff/Matek Tabellenbuch)
                           Wb=34,2 cm^3=34200 mm^3
                             -
mittige Kraft F=7296 N ergibt mit der Formel Fg=m * g  m=7296 N /9,81 m/s^2=743,73 Kg
                              - Fa=Fb=F/2=7296 N /2=3648 N
                              - Mb=F/2 *l/2=3648 N * 1,5 m=5472 Nm oder =5472000 Nmm
eingesetzt in Formel SIb z=Mb/Wb=5472000 Nmm /34200 mm^3 =160 N/mm^2
Spannungsnachweis SIb z=160 N/mm^2 < gleich SIb z (zul)=160 N/mm^2
Auswertung : Die errechnete Biegezugspannung SIb z ist gleich der zulässigen Biegezugspannung SIb z (zul)
                   Dieser 3 m lange Stahlträger aus ST 37 kann in der Mitte eien Last von 743 Kg tragen.

                                                                      Beispiel ,Kragträger
Ein Kragträger ist ein Balken,der an einer Seite eingespannt ist und an der anderen Seite frei ist.
gegeben : Es soll eine Palette mit Pfannen auf ein Dach gebracht werden.Masse der Palette m=42 Kg
              Am freien Ende des Kragträgers befindet sich eine Umlenkrolle.Unten zieht eine Person die Palette hoch und oben
              nimmt eine Person die Palette mit den Dachpfannen an.
              Wegen der Umlenkrolle wird der Balken am freien Ende mit der Last von 42 kg *2=84 Kg belastet.
              Dies ergibt eine Gewichtskraft von Fg=m *g=84 Kg * 9,81 m/s^2=824,04 N (Newton)
              Bis zum Lager (festes Ende) hat der Träger eine Länge von l=2 m (Meter)
              Zur Verfügung steht ein Kantholz mit den Profil (Querschnitt) 10 cm *10 cm.Die zulässige Biegezu-und Biegedruck-
              spannung beträgt SIb z (zul)=10 N/mm^2 (Newton pro Quadratmillimeter)
              Aus der Tabelle für statische Werte Wb=167 cm^3 =167000 mm^3
               
Das Biegemoment (maximal) Mb= Fg * l =824,04 N * 2 m=1648,08 Nm =1648080 Nmm
               Eingesetzt in Formel SIb z =Mb/Wb=1648080 Nmm /167000 mm^3 =9,87 N/mm^2
Auswertung :Ein Kantholz mit 10 cm *10 cm Querschnittsfläche kann man mit 82 Kg am freien Ende belasten.
Hinweis :Das Kantholz kann direkt eingespannt sein.Hiebei muss die Einspannung das Biegemoment von MB=1648 Nm aushalten.
              Das Kanntholz kann auch auf eine Auflage liegen mit einer Gegenlast,damit die Konstruktion nicht vorn überkippt.
              Hier gilt dann das Hebelgesetz ,Last * Lastarm =Kraft *Kraftarm

                                                             gerade Biegung/Doppelbiegung (schiefe Biegung)
Merke :
Es gibt bei der Biegung 2 Hauptachsen,die x-Achse und die y-Achse.
            in den bisherigen Beispielen verlief die Wirkungslinie der Kraft (Belastung) entlang der senkrechten Hauptachse,waren also
            deckungsgleich.
            Bei der schiefen Biegung verläuft die Wirkungslinie der Kraft nicht durch eienr der Hauptachsen,sondern nur durch den
            Flächenschwerpunkt des Profils.
            Man muss nun diese Kraft in eine x-Komponente und y-Komponente aufteilen,so das eine Wirkungslinie entlang
            der x-Hauptachse verläuft und die andere Wirkungslinie entlang der y-Hauptachse.
            Es gilt dann die Formel SIb z =Mb (x)/Wb(x)  + Mb(y) /Wb(y)
             
Die beiden Kräfte Fx und Fy bilden einen 90° Winkel und es gilt F=(Fx^2 + Fy^2)^0,5 ,siehe dazu die Berechnung von
            rechtwinkligen Dreieck im Mathematik-Formelbuch.
            Die beiden Kräfte Fx und Fy werden einzeln behandelt,wie in den Beispielaufgaben und die sich ergebenden Spannungen
            werden dann addiert.
Hinweis :Dies nennt man dann Doppelbiegung,weil hier beide Hauptachsen beteiligt sind.
               Hierzu ist es notwendig,dass man sich die oben aufgeführte Literatur besorgt,da zur Erklärung auch Zeichnungen
               notwendig sind. Diese Zeichnungen kann ich hier nicht liefern,wegen zu hohen Aufwandes.

                                               Beispiel für schiefe Biegung /Doppelbiegung
Merke :
Wie bei der reinen Biegung geht auch bei der schiefen Biegung die Wirkungslinie der Kraft durch den Flächenschwerpunkt
            des Profils.Fälle,wo dies nicht der Fall ist ,können hier wegen des Umfangs der Rechnungen,nicht behandelt werden.Dies
            ist auch nur was für Profis.
Aufgabe :Eine Kraft F=5000 N greift in der Mitte eines Trägers an.Die Kraft ist gegen die senkrechte y-Achse um 30° geneigt.Die
             Länge des Trägers ist l=3 m.
             Welches rechteckige Stahlprofil oder Stahlrohr muss gewählt werden ?
Rechengang : Aufteilung der Kraft F in eine x und y - Komponente.Aus dem Mathematik-Formelbuch  sin(a)=Gk/Hy und
                   cos(a)=Ak/Hy also gilt sin(30°) * 5000 N=2500 N und cos(30°) * 5000 N=4330,13 N
                    Fy=4330 N diese Kraft liegt genau auf der senkrechten Y-Hauptachse und Fx=2500 N liegt genau auf der waagere-
                    chten X-Hauptachse.
Hinweis :Die Spannungen,die sich aus diesen beiden Kräften ergeben,werden zum Schluß addiert.Dies nennt man das
               "Überlagerungsprinzip".
Biegung um die x-Achse :Lagerkräfte Fa=Fb=Fy/2=4330 N/2=2165 N hieraus ergibt sich das maximale Biegemoment in der Mitte
                                   des Trägers Mb=Fa * l /2 =2165 N * 1,5 m =3247,5 Nm =3247500 Nmm (Newton Millimeter)
                                      SIb z =Mb /Wb
gewähltes Profil :rechteckiges Stahlrohr Höhe=120 mm ,Breite=60 mm ,Wandstärke =4 mm Wiederstandsmoment gegen Biegung
Wx=41,1 cm^3 =41100 mm^3 und Wy=27,6 cm^3 =27600 mm^3
SIb z=3247500 Nmm/41100 mm^3 =79 N/mm^2 dies ist die maximale Zug und Druckspannung,die durch die Kraft Fy entsteht.
Selbe Rechengang für die y-Achse : Fx=2500 N auch hier gilt Fa=Fb=Fx /2=1250 N und Mb=Fa *l/2=1250 N *1,5 m=1875 Nm=
1875000 Nmm
SIb z=1875000 Nmm /27600 mm^3=67,9 N/mm^2
Beide Spannungen addiert ergibt SI b (gesamt)=79 N/mm^2 + 67,9 N/mm^2 =147 N/mm^2
Die zulässige Biegezug - und Druckspannung beträgt SIb (zul)=160 N/mm^2 für den Stahl St 37.
Also reicht dieses Profil für diese Belastung aus. Profil Stahlholprofil DIN 59410 Höhe=120 mm Breite=60 mm ,Wand-
stärke=4 mm
Formel hier ist SIb z=Fy/Wx +Fx/Wy mit Wx=41,1 cm^3 (Biegung um Waagerechteachse) Wy=27,6 cm^3 (Biegung um
Hochachse)
Rechnung mit Stahlrohr :Fa=Fb=F/2=5000 N /2=2500 N Mb=Fa *l/2=2500 N *1,5 m=3750 Nm =3750000 Nmm
gewähltes Stahlrohr DIN 2448 Außendurchmesser =114 mm ,Wandstärke =3,6 mm Widerstandsmoment
Wb=33,6 cm^3
=33600 mm^3
SIb z=Mb/Wb=3750000 Nmm/33600 mm^3=111,6 N/mm^2^
Auch dieses Stahlrohr würde für diese Belastung ausreichen,da der zulässige Wert von SIb (zul)=160 N/mm^2 nicht erreicht wird.
Hinweis :Bei einen Rohr oder einer Vollwelle braucht die Kraft nicht in eine x und y-Komponente aufgeteilt werden,da das Wieder-
              standsmoment Wb in jeder Lage das selbe ist.
              Einen Wert für Wy und Wx ,wie bei anderen Profilen gibt es nicht.
                                                                      Die Torsionsspannung (Verdrehspannung)
Merke :
Diese Spannung tritt immer dann auf,wenn ein Drehmoment vorhanden ist.Dies ist immeer der Fall bei Getriebewellen.
            - es gilt die Formel SIt=M/Wt hier ist SIt (sprich sigman Torsion),M ist das Drehmoment M=F * l (Kraft mal Hebelarm)
             Achtung :nicht verwechseln mit Mb (Biegemoment) dies wird anders berechnet.
             Aus dem Physik-Formelbuch P=M * w P ist die Leistung an der Welle in W (Watt),M ist das Drehmoment an der Welle in
              N m (Newton mal Meter,kurz : Newton Meter) und w ist die Winkelgeschwindigkeit der Welle in rad /s (Radiant pro
              Sekunde)
              Radiant ist der Winkel in Bogenmaß (siehe Mathematik-Formelbuch).
Formel für eine Vollwelle Wt=pi/16  * d^3 pie=3,14... ist die Kreiskonstante,d ist der Wellendurchmesser,mit der Einheit mm
(Millimeter).
 Hier ist die Einheit von Wt mm^3 (Widerstandsmoment gegen Torsion (t).
Formel für eine Hohlwelle Wt=pi/16  * (D^4 - d^4) / D hier ist D der Aussendurchmesser der Hohlwelle und d der Innen-
                                                                                      durchmesser der Welle.
Rechengang :Man berechnet M (z.Bsp. Drehmoment des Motors) mit den Formeln aus dem Physik-Formelbuch,wandelt dieses
                     in die Einheit Nmm (Newton Millimeter) um.
                      Dann berechnet man Wt mit den Formeln für die Vollwelle oder Hohlwelle,jenachdem ,was vorliegt.
                      Diese Werte werden dann in die Formel SIt=M/Wt eingesetzt.
                      Der Wert SIt (Torsionsspannung) wird dann mit der zulässigen Spannung verglichen.
                       SIt (zuL)=92 N/mm^2 für Stahl St 37 Lastfall H (Hauptlast) und 104 N/mm^2  HZ (Hauptlast mit Zusatzlast)
                       SIt (zul)=139 N/mm^2 für Stahl St 52 Lastfall H                 und 156 N/mm^2  Hz
                       Werte stammen aus dem Buch Roloff/Matek Tabellenbuch

                                                         Berechnung einer Stütze nach den w -Verfahren
Merke :
Das w -Verfahren (sprich Omega-Verfahren,w=griechischer Buchstabe Omega) ist im Wohnungsbau
           rechtlich vorgeschrieben.
            es wird wie folgt vorgegangen :
           - 1. Ermittlung der Knicklänge
           - 2. Ermittlung des Trägheitsradius i=(I/A)^0,5 hier ist I das Flächenmoment 2.ter Ordnung,wird
                 aus der Tabelle abgelesen. A ist die Querschnittsfläche des Profils,wird auch aus der Tabelle
                 abgelesen oder wird berechnet.
           - 3. Ermittlung des Schlankheitsgrades Lamda =Knicklänge/Trägheitsradius
           - 4. Ermittlung des w-Wertes aus der Tabelle
            - 5. Berechnung der Knickspannung SIk=F * w /A
            - 6. Vergleich der Knickspannung mit der zulässigen Druckspannung für das Material
                                                                     Beispielrechnung
Aufgabe : Eine 10 m^2 Betondecke soll abgestützt werden.Dicke der Decke s=12 cm.Spezifisches Gewicht von
              Beton 2500 Kg/m^3  Deckenhöhe l=2,5 m (Meter)
              Gesamtmasse der Decke m=10 m^2 * 2500 Kg/m^3 *0,12 m =3000 Kg (3 Tonnen).
              Dies ist eine Gewichtskraft von Fg=m * g =3000 Kg *9,81 m/s^2 =29430 N (Newton)
Knicklägenermittlung : lk= Beta (k) * l
Beta (k)                     Stützenfuß                         Stützenkopf                    Knickfall
    2,0                       eingespannt                            frei                                1
    1,0                         gelenkig                               gelenkig                          2
    0,7                       eingespannt                            gelenkig                         3
    0,5                        eingespannt                           eingespannt                    4

gewählt Knickfall 2 mit Beta (k) = 1 ,dies ist der normale Knickfall mit einer Stütze,die oben und unten "gelenkig
ist und sich nicht verschiebt,aber oben und unten keine Momente (Biegemomente ) überträgt.
Somit ist die  Knicklänge lk=Beta (k) * l =1 * 2,5 m =2,5 m
Geschätztwird nun ein Profil A=12 cm *12 cm=144 cm^2 ,Holzstütze ,Das w-Verfahren ist ein "Probierverfahren",
was nicht durch direkte Berechnung zum gesuchten Profil führt !!Das Profil und das Material müssen geschätzt
werden und dann rechnerisch geprüft werden !!
Aus der Tabelle I=1728 cm^4 (Flächenmoment 2.ter Ordnung) und A=144 cm^2 eingesetzt in i=(I/A)^0,5
ergibt i=(1728 cm^4 /144 cm^2)^0,5 =3,464 cm eingesetzt in der Formel Lamda(La) =knicklänge / i =
250 cm /3,464 cm =72,16
Lamda darf höchsten 150 betragen,gilt für einteilige Druckstäbe aus Holz und ein-
teilige Druckstäbe im Brückenbau aus Stahl.Also 72,16 < 150 ist zulässig !!
w -Wert
aus Tabelle ergibt für 72 w=1,94 ,w -Wert stammt aus der Tabelle für Nadelholz nach DIN 1052 für
Druckstäbe aus dem Buch Baustatik Teil 2 Festigkeitslehre ,B.G. Teubner Stuttgart ,Verlag 1985
eingesetzt in Formel SIk =F * w /A =29430 N * 1,94 /14400 mm^2 =3,96 N/mm^2

Spannungsnachweis :rechnerische Druckspannung SI (D) =3,96 N/mm^2 < SI D (zul)= 8,5 N/mm^2
Auswertung :Die zulässige Druckspannung für europäisches Nadelholz der Güteklasse II liegt bei
                   SI D (zul) =8,5 N/mm^2 , ist also größer als 3,96 N/mm^2.
                  Die Holzstütze mit dem Querschnitt A=12 cm * 12 cm kann also die Last der gesamten Betondecke von
                  3000 Kg tragen.
Eine weitere Proberechnung mit einer Holzstütze von A= 10 cm * 10 cm =100 cm^2 ergibt einen Wert von
SI D = 7,24 N/mm^2 läge auch noch knapp unter 8,5 N/mm^2 .

                                                    weitere 2 Berechnungsverfahren für Knickung (Stütze)
Merke :
Diese beiden Verfahren werden nur im Maschinenbau angewendet.Hier werden 2 Formeln angewedet, die
             Euler-Formel und die Tetmajer-Formel.
            - folgende Formeln stammen aus dem Buch Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau ,Springer-Verlag,1986
            - die Euler-Formel gilt nur für Stahlstützen und nur für für den linearen ,elastischen Bereich und es dürfen maximale
               Schlangheitsgrade nicht überschritten werden.Diese sind :
                Werkstoff Stahl                       Schlankheitsgrad (Lo)
                       St 37                                          104
                      St 50 u. St 60                                 89
                         5 % Ni-Stahl                                86
                         Grauguß                                      80
               - die Tetmajer-Formel wird angewendet,wenn diese Werte für den Schlangheitsgrad überschritten werden.Die Be-
                 lastung der Stütze liegt dann im plastischen Bereich !!
Knickspannung : nach Euler -Formel  SIk=pi^2 * E/La^2         SIk=Knickspannung in N/mm^2
                                                                                             La =griechischer Buchstabe Lamda (kann ich hier nicht
                                                                                                    darstellen)
                                                                                             pie=3,14 ... Kreiskonstante pie
                           La=lk/i                                                        E=210000 N^/mm^2 Elastizitätsmodul für Stahl,ist für jeden
                             i=(I/A)^0,5                                                                               Stahl der selbe Wert.
                                                                                              E=100000 N/mm^2 für Grauguß   
                          lk=Knicklänge ,wie obeiges Beispiel,Einheit cm
                            i =Trägheitsradius,wie obiges Beispiel,Einheit cm
                            I =Flächenmoment des Profils,wie obiges Beispiel,wird aus Tabelle abgelesen,Einheit ist cm^4
                            A=Querschnittsfläche des Profils,wie obiges Beispiel,Einheit cm^2    
Sk=SIk/SI(vor)       Sk=Sicherheit gegen knicken Werte müssen zwischen 3  - 10 liegen !!
                            SI(vor)=vorhandene Druckspannung aus F/A (F=Kraft die auf die Stütze wirkt,in N und A=Querschnitts-
                            fläche des Profils in mm^2 (Quadratmillimeter)
Hinweis :Bei diesen Verfahren wird aus der Knickspannung und der vorhandenen Druckspannung eine Sicherheit gegen knicken
              ermittel,deren Wert über 3 liegen muß.

Kinckspannung :nach Tetmajer-Formel SIk=a - b * La                La=Schlankheitsgrad wie bei den anderen Verfahren
                                                                                               SIk=Knickspannung in N/mm^2  
                           Sk=SIk/SI(vor)   
Werte für a und b   Werkstoff            Lo           a                              b
                                St 37                 104        310                         1,14
                              St 50 u. St 60        89         335                          0,62
                                  5% Ni-Stahl       86         470                          2,30
                               Nadelholz             100        29,3                         0,194
Hinweis :Liegen die Lamdawerte über die angegeben Werte (Lo),so wird die Knickspannung nach der Tetmajer-Formel berechnet
              und daraus Wiederung eine Sicherheit für die Knickung errechenet.Der Wert Sk muss  zwischen 3 -8 liegen.
              Lo ist der Grenzwert für den Schlankheitsgrad Lamda (abgekürzt La).  

                                                                        Zusammenfassung
Für Leute,die sich für Statik und Bauteilbemessung interessieren ,ist es absolut notwendig,dass sich diese ein Physik-Formelbuch,
ein Mathematik-Formelbuch,einen Taschenrechner  und das BuchBaustatik ,Teil 2,G. Lohmeyer,B.G. Stuttgart 1985 besorgen.
Hier stehen alle benötigten Daten,wie zulässige Spannungen für die entsprechenden Materialien und die statischen Werte drin.
In den Büchern,sind die hier aufgeführten Formeln und Rechenwege nochmal aufgeführt,mit Rechenbeispielen und Zeichnungen.
Die Anleitungen und Erklärungen in den Bücher sind besser,als ich es hier überhaupt erklären kann.
Außerdem empfehle ich noch die Bücher Mauerwerksbau,2. Auflage,Werner-Verlag,Essen,1987 ,Stahlbetonbau,Bemssung,Kon-struktion,Ausführung B. G. Teubner Stuttgart 1983 ,G. Lohmeyer,Baukonstruktion,Dierks,Hermann,Schneider,Tietge,Wormuth
2. Auflage Werner-Verlag,1990
Diese Bücher sind ideal,für Leute,die eine Immobilie haben (einzelnes Haus) oder in ein paar Jahren bauen wollen.
Diese Bücher zahlen sich auf jeden Fall aus,alleine schon wegen den Informationen,die man sich hier aneignen kann.
Druckspannung :Dies ist die einfachste Rechnung.Man muss nur die Kraft ermitteln und auf die Fläche umrechnen (Bodenpressung)
                           Der errechnete Wert wird dann mit den zulässigen Wert verglichen.
Formel :SId =Fg/A=m *g/A hier ist g=9,81 m/s^2 (Erdbeschleunigung),Fg=Gewichtskraft,SId=ist die Druckspannung
Biegespannung :Diese entsteht bei der Belastung von Trägern.Biegezuspannung und Biegedruckspannung sind bei symetrischen
                           Querschnitt gleich groß und haben ihren größsten Wert am Aussenrand des Trägers.
Formel :SIb z =Mb/Wb Mb ist das maximale Biegemoment,was am Träger auftritt und Wb ist das Widerstandsmoment gegen Bie-
                                    gung (Einheit mm^3
gerade Biegung :
Die Wirkungslinie der Kraft verläuft entlang der Hauptachse und durch den Flächenschwerpunkt des Profils.
schiefe Biegung :Wird auch Doppelbiegung genannt.Die Kraft muss in eine x und y-Komponente zerlegt werden und wird dann
                           einzeln behandelt und die Spannungen werden zum Schluß addiert.
Formel SI b z =Mb (x)/Wb (x) +Mb (y) /Wb (y)
Getriebegehäuse/Bohrvorrichtung :
Bei dieser Bemessung werden Erfahrungswerte eingesetzt.Eine Berechnung ist nicht möglich.
                                                         Man nimmt mindestdicken für Wände ,die sich in früheren Konstruktionen bewärht haben.
                                                         Eine Berechnung wird nicht durchgeführt.Für Getriebegehäuse siehe Buch Roloff/Matek            


Dieses Bild zeigt Standardfälle für die Be-
rechnung des Biegemomentes (aus den
Buch Dubbel).Zweckmäßig setzt man die
Kraft F in N (Newton) ein und die Längen
in mm (Millimeter).
Dann erhält man Mb in Nmm (Newton mal
Millimeter).Bei der Streckenlast (11) ist q
in N/m (Newton pro Meter).Auch dieser
Wert kann sofort in N/mm umgewandelt
werden,oder das Biegemoment (Mb) wird
von Nm in Nmm umgerechnet.

Dieses Bild zeigt die zulässsigen Spannungen für
Bauholz,aus den Buch Baustatik.

Auch dieses Bild stammt aus dem Buch
Dubbel.Hier sind die Formeln für die Be-
rechnung von den Widerstandsmoment
gegen Biegung und die Flächenmomente
2.ter Ordnung für Flächen,die nicht in den
statischen Tabellen aufgefüht sind.

Statische Werte von doppel T-Trägern aus
den Buch Baustatik.

Statische Werte für Stahlrohre aus dem
Buch Baustatik.

Statische Werte für rechteckiges Vierkant-
stahlprofil aus dem Buch Baustatik.

Statische Werte für Vierkant- Stahlprofil
aus dem Buch Baustatik.

Dieses Bild aus dem Buch Baustatik
zeigt die statischen Werte für Bauholz,
die für die Biegung und Knickung
(Stützen) ,gebraucht werden.

Folgende Tabellen geben die w -Werte (Omega-Werte) für die Knickung wieder,Berechnung für Stützen.
Achtung : zulässige Höchstwerte,Schlankheitsgrad (Lamda,griechischer Buchstabe)
                                                                 für Holz
                - einteilige Druckstäbe                                                            Lamda (max) 150
                - zusammengesetzte nicht geleimte Druckstäbe                                  "         175
                - Druchstäbe in Verbänden und Zugstäbe mit geringer Druckkraft         "         200
                - Druckstäbe bei fliegenden Bauten                                                    "         250
                                                                 für Stahl
                  -
einteilige Druckstäbe im Brückenbau                                                "         150
                 - Füllstäbe in Vebänden und Hilfsstäbe                                                "         200
                 - einteilige Druckstäbe im allgemeinen Stahlbau                                   "         250
Ablesebeispiel :Stahlstütze aus St 37 -2 ,Schlankheitsgrad (Lamda)=125.
                         Abgelesener w-Wert=2,64 (aus Tabelle für St 37-2)

                                                                       Schlußwort
Mit den Informationen auf dieser Seite kann man sich durch die oben aufgeführten Bücher durcharbeiten.Man kommt
somit zu Grundwissen,was man in der Technik überall braucht,insbesondere wenn eine eigene Immobilie vorhanden
ist oder wenn man in wenigen Jahren bauen will.Das Wissen kann auch zur eigenen Reperatur des eigenen Hauses ein-
gesetzt werden.
Tipp :Jeder sollte sich diese Bücher besorgen.Es lohnt sich auf jeden Fall,selbst wenn dies nur der eigenen Bildung
         dient.
         Bei der Berechnung von Getriebewellen und anderen Bauteilen im Maschinenbau,ist unbedingt das Buch
         Roloff/Matek mit Tabellenbuch not wendig.Dieses Buch eignet sich zum Selbststudium.
Versuch :Zur Biegung.Man kann mit einen kleinen Versuch seine Rechnung zur Biegung überprüfen.Mann schneidet
              sich ein 1m langes und 2 cm quadratisches Profil aus Holz.
             Für ein quadratisches Profil ist das Widerstandsmoment gegen Biegung Wb=1/6 *a^3 ,hier ist a=2 cm
              Formel für die Biegespannung SIb=Mb/Wb ,Mb für einen Träger mit mittiger Einzelkraft Mb=F *l /4
             eingesetzt SIb=F * l /4 *Wb umgestellt nach  F= SIb * 4 * Wb / l
             Zulässige Biegespannung (SIb) für Nadelholz Güteklasse II =10 N/mm^2, mit Wb=1/6 * 2^3 =1,33 cm^3
             Wb=1330 mm^3 , für l=1000 mm ergibt sich F=10 N/mm^2 * 4 *1330 mm^3 /1000 mm =53,2 N dies ist
             eine Belastung Fg=m * g (siehe Physik-Formelbuch) m=180 N / 9,81 m/s^2=5,42 Kg
Ergebnis :Belastet man einen Träger mit diesen Daten,so ist die Biegezu - und Biegedruckspannung SI b Z=10 N/mm^2
               Bei Holz muss man auf die Richtung der Fasern achten !! Der Holzträger muss so liegen,dass das maximale
               Gewicht möglich ist.  
Tipp :
Anfänger sollten,wie in diesen Beispiel ein paar Rechnungen durchführen und dann überprüfen,weil schnell Rechen-
         fehler auftreten können.Man kann sich auch exakt an den Rechenwegen der Beispielrechnungen in der hier auf-
        geführten Bücher halten.

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